Geometria dużej skali

Geometria dużej skali to geometria przestrzeni widzianych z nieskończoności. Wyobraźmy sobie przestrzeń złożoną z punktów o współrzędnych całkowitych na płaszczyźnie. W takiej przestrzeni możemy zawsze mierzyć odległości między punktami tak samo jak na płaszczyźnie. Jednak fakt, że jest to przestrzeń dyskretna, nie pozwala na użycie jakichkolwiek narzędzi typowych dla analizy czy geometrii, w tym tak fundamentalnych jak ciągłość czy różniczkowalność. Jest jednak intuicyjnie jasne, że pewne globalne własności metryczne takiej przestrzeni powinny być podobne jak samej płaszczyzny. Jak więc to sformalizować?

Zacznijmy patrzeć na dyskretną przestrzeń z coraz większej odległości – jak obserwator, który się od niej powoli oddala. Perspektywa spowoduje, że stopniowo punkty będą wyglądać na coraz bliższe siebie. Im dalej się odsuniemy, tym bardziej przestrzeń będzie przypominać płaszczyznę. Geometria dużej skali to właśnie geometria obiektów widzianych z nieskończoności. Jej natura całkowicie różni się od wielu klasycznych dziedzin geometrii, w których istotne jest badanie obiektów ograniczonych – w geometrii dużej skali każdy obiekt skończony czy ograniczony widoczny jest z nieskończoności jako pojedynczy punkt. Podobnie wszelkie lokalne własności obiektów czy przekształceń między nimi są zaniedbywane jako niewidoczne z daleka.

Geometria dużej skali i jej zastosowania to temat projektu finansowanego przez Narodowe Centrum Nauki w konkursie SONATA BIS 3. Nasze badania stanowią analizę zastosowania geometrii dużej skali w tzw. teorii indeksu. Teoria indeksu jest pewnego rodzaju pomostem pomiędzy dwiema fundamentalnymi dziedzinami matematyki, analizą i topologią. Bada się w niej zależność liczby niezależnych rozwiązań niektórych równań różniczkowych na rozmaitościach (czyli pewnych obiektach geometrycznych) od topologicznej, czyli łatwo deformowalnej, struktury tej rozmaitości. Geometria dużej skali w ostatnim dwudziestoleciu okazała się jednym z najpotężniejszych narzędzi pozwalających udowadniać twierdzenia w teorii indeksu.

W ramach projektu SONATA BIS 3 wspólnie z Cornelią Drutu z University of Oxford odkryliśmy nową konstrukcję pewnych obiektów algebraicznych, tzw. rzutów Kazhdana. Konstrukcja ta pozwoliła odpowiedzieć na szereg otwartych pytań i problemów w kilku różnych dziedzinach matematyki. W szczególności wyniki te umożliwiły skonstruowanie nowych przykładów przestrzeni metrycznych, posiadających egzotyczne z punktu widzenia geometrii dużej skali własności. Dodatkowo, kontynuując tę tematykę wspólnie z mgr. Damianem Sawickim, doktorantem IMPAN pracującym w projekcie, pokazaliśmy, że przestrzenie te nie dają się zrealizować jako podprzestrzenie nieskończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych, czy ogólniej, przestrzeni Hilberta i niektórych przestrzeni Banacha. Wszystko to pozwala przypuszczać, że przestrzenie te najprawdopodobniej są kontrprzykładami na pewne znane hipotezy w teorii indeksu.