Aksjomaty forsingowe, modele wewnętrzne i determinacja

Choć pojęcie nieskończoności jest w matematyce dość powszechne, od wieków stanowi źródło wielu paradoksów. Zenon z Elei postawił słynne pytanie, jak to możliwe, że szybszy biegacz zawsze dogania wolniejszego. Nie znając odpowiedzi na pytanie o możliwość nieskończonego dodawania liczb, Leibnitz i inni stwierdzili, że 1-1+1-1+1+...+1-1+...=1/2. Russel zastanawiał się, jak to możliwe, aby wzór wszystkich wzorów był wzorem, zaś Cantor dumał nad naturą nieskończoności liczb, zwaną hipotezą kontinuum, która głosi, że moc (wielkość) zbioru liczb rzeczywistych jest równa pierwszej nieskończonej mocy większej od mocy zbioru liczb naturalnych, takich jak 1, 2, 3 itp. Hilbert umieścił hipotezę kontinuum na swojej liście 23 wielkich problemów matematycznych, przedstawionej na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Paryżu w 1900 r.

dr Grigor Sargsyan, prof. IM PAN, fot. Łukasz Bera W przeciwieństwie do pozostałych paradoksów rozwiązanych przy pomocy definicji i aksjomatów, hipoteza kontinuum pozostaje tajemnicą, co stanowi problem dla teoretyków zbiorów badających matematyczne właściwościami wzorów nieskończonych, którzy opracowali metodę aksjomatyczną, tzw. aksjomaty Zermela-Fraenkela z aksjomatem wyboru (ZFC), czyli zestaw reguł dot. zbiorów nieskończonych. Panuje powszechne przekonanie, że reguły te nie prowadzą do sprzeczności ani paradoksów.

Choć ZFC skutecznie eliminuje proste paradoksy z nieskończonością, jak wykazali Gödel i Cohen ZFC nie pozwala udowodnić ani obalić teorii continuum. W 1966 roku Cohen otrzymał za swoje osiągnięcie medal Fieldsa będący odpowiednikiem Nagrody Nobla w dziedzinie matematyki. Zatem aksjomaty ZFC nie opisują w pełni nieskończoności matematycznej, a proste pytania (np. o hipotezę kontinuum) pozostają bez rozwiązania.

dr Grigor Sargsyan, prof. IM PAN, fot. Łukasz Bera Od czasu przełomowego odkrycia Cohena teoretycy zbiorów odkryli jeszcze inne aksjomaty nieskończoności odpowiadające założeniom hipotezy kontinuum. Spośród najbardziej znanych należy wymienić aksjomaty determinacji i aksjomaty forsingowe. Dowodzą one jednak argumentów przeciwnych niż wynikające z hipotezy kontinuum, przy czym pierwszy dowodzi jej prawdziwości, a drugi fałszu. Co ciekawe aksjomaty determinacji skłaniają do postrzegania teorii zbiorów w sposób deterministyczny — tzn. gdyby uznać, że matematyczny wszechświat zbiorów stale się poszerza, a każdy jego element położony wyżej składa się z elementów pojawiających się wcześniej, to każdy zbiór tworzyłyby nieskończone algorytmy stosowane do mniejszych zbiorów. Z drugiej strony aksjomaty forsingowe wymuszają bardziej losową interpretację zakładając istnienie obiektów generycznych wypełniających wszechświat przypadkowymi informacjami, które trudno przewidzieć badając zbiory z niższych poziomów wszechświata.

Tak więc pomimo że aksjomaty determinacji i aksjomaty forsingowe decydują o hipotezie kontinuum, nie są one wzajemnie logicznie spójne. Nadrzędnym celem programu jest unifikacja tych dwóch podejść do nieskończoności i zbudowanie powiązań między nimi. Można je zunifikować zakładając możliwość wzajemnej interpretacji w sposób naturalny. Mimo że mogą się różnić regułami gramatycznymi, ostatecznie opisują tę samą rzeczywistość matematyczną. Ostatnio wraz z kolegami wprowadziliśmy nowy rodzaj modeli (Modeli Nairiana) łączące aksjomaty forsingowe z aksjomatami determinacji. Spodziewamy się, że dalsze badania nad tymi modelami ujawnią kolejne tajemnice wszechświata zbiorów, zapewniając pełniejszy i bardziej spójny obraz matematycznej nieskończoności. Jestem niezmiernie wdzięczny Narodowemu Centrum Nauki za hojne wsparcie, które pozwoli mi kontynuować prace nad Modelami Nairiana.